.. role:: blue
   :class: blue

Кубический сплайн MbCubicSpline3D
=================================
.. _MbCubicSpline3D_Cubic_Spline:

.. версия ядра: 

Класс :blue:`MbCubicSpline3D` объявлен в файле **cur_cubic_spline3d.h**.

Кубический сплайн является наследником кривой MbPolyCurve3D. Кривая
описывается множеством контрольных точек
SArray<:ref:`MbCartPoint3D <MbCartPoint3D_Radius_Vector_of_Point_in_3D_Space>`> **pointList**, множеством вторых производных
кривой в контрольных точках
SArray<:ref:`MbVector3D <MbVector3D_Vector_in_Three-Dimensional_Space>`> **vectorList**, множеством значений
параметра кривой в контрольных точках *tList*, максимальным
значением индекса множества параметров *splinesCount* и признаком
периодичности кривой *closed*. У кривой есть ещё некоторые данные,
которые не обязательны и служат для ускорения работы методов кривой.

Кубический сплайн при значении параметра *tList*\[*i*\],
*i* = 0, 1, ..., *splinesCount*, проходит через контрольную точку
**pointList**\[*i*\] и имеет в ней вторую производную
**vectorList**\[*i*]. Кривая построена так, что при
переходе из точки **pointList**\[*i*]\ в точку
**pointList**\[*i* + 1] вторая производная радиуса вектора
кривой изменяется линейно от **vectorList**\[*i*\] до
**vectorList**\[*i* + 1].

При вычислении радиуса-вектора точки составной кривой сначала по
значению параметра *t* кривой определяется номер *i* рабочего
участка, из условия
*tList*\[*i*] ≤ *t* ≤ *tList*\[*i* + 1].
Радиус-вектор кривой вычисляется по значениям
**pointList**\[*i*], **pointList**\[*i* + 1],
**vectorList**\[*i*], **vectorList**\[*i* + 1]
найденного участка для локального параметра *w*, который
определяется по *tList*\[*i*]
и *tList*\[*i* + 1].

В методе :blue:`PointOn`\( double & *t*,
:ref:`MbCartPoint3D <MbCartPoint3D_Radius_Vector_of_Point_in_3D_Space>` & **r**) радиус-вектор кривой **r** описывается векторной функцией

.. math::

   r(t) = (1 - w)\mathbf{pointList}[i] + w\mathbf{pointList}[i + 1] +
   \left( (-2w + 3w^{2} - w^{3})\mathbf{vectorList}[i] + (-w + w^{3})\mathbf{vectorList}[i + 1] \right)\frac{(\mathit{tList}[i + 1] - \mathit{tList}[i])^{2}}{6},

где

.. math::

   w = \frac{t - \mathit{tList}[i]}{\mathit{tList}[i + 1] - \mathit{tList}[i]},

а *tList*\[*i*] ≤ *t* ≤ *tList*\[*i* + 1].

Кубический сплайн, построенный по тем же контрольным точкам, что и
составная кривая Эрмита, приведён на рисунке:

.. figure:: /MODELER/CURVES/pictures/O.4.9.1.png
   :width: 15cm
   :align: center

Параметр кривой *t* принимает значения на отрезке:
*tmin* ≤ *t* ≤ *tmax*, где *tmin* = *tList*\[0],
*tmax* = *tList*\[*splinesCount*]. Кривая может быть
периодической.

Форма кривой зависит от расположения контрольных точек и от множества
*tList* значений параметра в контрольных точках. При построении
кривой только по контрольным точкам значения параметра кривой в
контрольных точках *tList*\[*i*],
*i* = 0, 1, ..., *splinesCount*, изменяются пропорционально
расстоянию между точками, а вторые производные
**vectorList**\[*i*],
*i* = 1, 2, ..., *splinesCount* – 1 вычисляются путём решения
системы уравнений.