.. role:: blue
   :class: blue

NURBS-кривая MbNurbs3D
======================
.. _MbNurbs3D_NURВS-Curve:

.. версия ядра: 

Класс :blue:`MbNurbs3D` объявлен в файле *cur\_nurbs3d.h*. 

NURBS-кривая получила название от первых букв сочетания слов NonUniform
Rational B-Spline. Кривая является наследником кривой :blue:`MbPolyCurve3D`.
Кривая описывается множеством контрольных точек
SArray\<:blue:`MbCartPoint3D`\> **pointList**, множеством весов контрольных
точек *weights*, узловым вектором *knots*, порядком сплайна
*degree*, параметром формы кривой *form* и признаком
периодичности кривой *closed*. У кривой есть ещё некоторые данные,
которые не обязательны и служат для ускорения работы методов кривой. 

Кривая построена на основе B-сплайнов. Узловой вектор *knots*
представляет собой неубывающую последовательность действительных чисел и
определяет область определения параметра кривой и форму кривой. Параметр
формы кривой *form* в общем случае принимает значение
*ncf_Unspecified*, в частных случаях он хранит информацию об исходной
кривой, с которой была получена NURBS-копия. Порядок *degree*
NURBS-кривой равен порядку разделённых разностей, по которым
вычисляются B-сплайны. Пусть узловой вектор содержит *knotsCount*
элементов, а множество контрольных точек содержит *pointsCount*
элементов. Для непериодической NURBS-кривой количества элементов в
множествах связаны равенством
*knotsCount* = *pointsCount* + *degree*. Для периодической
NURBS-кривой количество элементов в множествах связаны равенством
*knotsCount* = *pointsCount* + 2 *degree* – 1. 

В методе :blue:`PointOn`\( double & *t*,
:blue:`MbCartPoint3D` & **r** ) радиус-вектор кривой **r** описывается векторной функцией

.. math::

   r(t) = \frac{\sum\limits_{j = 0}^{\mathit{pointsCount} - 1}
                {N_{j^{\mathit{degree}}}(t)\, \mathit{weight}[j]\, \mathbf{pointList}[j]}}
              {\sum\limits_{j = 0}^{\mathit{pointsCount} - 1}
                {N_{j^{\mathit{degree}}}(t)\, \mathit{weight}[j]}},

где
:math:`N_{j}^{\mathit{degree}}(t)` — B-сплайны порядка *degree* для *j*-й контрольной
точки **pointList**\[*j*\]. 

NURBS-кривая приведена на рис. 1: 

.. figure:: /MODELER/CURVES/pictures/O.4.6.1.png
   :width: 12cm
   :align: center

   Рис. 1

Параметр кривой *t* принимает значения на отрезке
*tmin* ≤ *t* ≤ *tmax*, где
*tmin* = *knots* \[*degree* – 1\],
*tmax* = *knots* \[*knotsCount* – *degree*\]. Кривая
может быть периодической. Периодическая NURBS-кривая приведена на рис. 2: 

.. figure:: /MODELER/CURVES/pictures/O.4.6.2.png
   :width: 12cm
   :align: center

   Рис. 2

Форма NURBS-кривой зависит от расположения контрольных точек, от веса
контрольных точек и от значений узлового вектора. NURBS-кривая в общем
случае не проходит через множество точек **pointList**\[i\],
*i* = 0,..., **pointsCount** – 1. Чтобы незамкнутая NURBS-кривая проходила
через крайние контрольные точки, требуется чтобы первые *degree*
элементов и последние *degree* элементов узлового вектора
*knots* совпадали. Чем больше вес контрольной точки, тем ближе к
этой точке проходит кривая при прочих равных условиях. 

Каждая кривая может построить свою NURBS-копию виртуальным методом
:blue:`NurbsCurve`\( const MbNurbsParameters & *tParameters* ).