.. role:: blue
   :class: blue

Расширенная матрица в трёхмерном пространстве MbMatrix3D
===========================================================
.. _MbMatrix3D_Extended_Matrix_in_Three-Dimensional_Space:

.. версия ядра: 118059

Класс :blue:`MbMatrix3D` объявлен в файле *mb_matrix3d.h*.

В трёхмерном пространстве матрица :blue:`MbMatrix3D` описывает преобразование из
одной системы координат в другую. Матрица имеет размерность четыре на
четыре. Пусть в выбранной системе координат построена локальная аффинная
система координат с началом в точке **r** с координатами
*r*\ :sub:`1`, *r*\ :sub:`2`,
*r*\ :sub:`3` и базисными векторами
**a** = \[*a*\ :sub:`1` *a*\ :sub:`2`
*a*\ :sub:`3`\], **b** = \[*b*\ :sub:`1`
*b*\ :sub:`2` *b*\ :sub:`3`\],
**c** = \[*c*\ :sub:`1` *c*\ :sub:`2`
*c*\ :sub:`3`\]. Векторы **a**, **b**, **c** должны быть линейно независимыми, но могут быть
не ортогональными друг другу и иметь произвольную длину. Матрица
:blue:`MbMatrix3D` преобразования координат из локальной системы в выбранную
систему координат имеет вид:

.. math::
   :nowrap:

   \[
   \mathbf{M} =
   \begin{bmatrix}
      a_{1} & a_{2} & a_{3} & 0 \\
      b_{1} & b_{2} & b_{3} & 0 \\
      c_{1} & c_{2} & c_{3} & 0 \\
      r_{1} & r_{2} & r_{3} & 1 \\
   \end{bmatrix}.
   \]

Для обозначения расширенных матриц в трёхмерном пространстве будем
использовать прописные буквы латинского алфавита, выделенные полужирным
шрифтом, например **M**. Заметим, что каждому базисному вектору
**a**, **b**, **c** и начальной точке **r**
локальной системы координат соответствует своя строка в матрице
преобразования из локальной системы в выбранную систему координат.

Матрица :blue:`MbMatrix3D` является расширенной и работает с однородными
радиусами-векторами и однородными векторами
:blue:`MbHomogeneous3D` в трёхмерном
пространстве.

При преобразовании радиуса-вектора
:ref:`MbCartPoint3D <MbCartPoint3D_Radius_Vector_of_Point_in_3D_Space>` по матрице
:blue:`MbMatrix3D` точке следует добавить четвёртую координату, равную единице.
Пусть точка с координатами *x*\ :sub:`1`,
*x*\ :sub:`2`, *x*\ :sub:`3` в локальной системе
координат имеет координаты *p*\ :sub:`1`,
*p*\ :sub:`2`, *p*\ :sub:`3` в выбранной системе
координат, тогда при участии расширенной матрицы :blue:`MbMatrix3D` координаты
будут связаны соотношением

.. math::
   :nowrap:

   \[
   \begin{bmatrix}
      p_{1} & p_{2} & p_{3} & 1 \\
   \end{bmatrix}
   =
   \begin{bmatrix}
      x_{1} & x_{2} & x_{3} & 1 \\
   \end{bmatrix}
   \cdot
   \begin{bmatrix}
      a_{1} & a_{2} & a_{3} & 0 \\
      b_{1} & b_{2} & b_{3} & 0 \\
      c_{1} & c_{2} & c_{3} & 0 \\
      r_{1} & r_{2} & r_{3} & 1 \\
   \end{bmatrix}.
   \]

Заметим, что трёхмерный радиус-вектор умножается на расширенную матрицу
:blue:`MbMatrix3D` справа.

При преобразовании вектора
:ref:`MbVector3D <MbVector3D_Vector_in_Three-Dimensional_Space>` по матрице
:blue:`MbMatrix3D` вектору следует добавить четвёртую компоненту, равную нулю.
Пусть вектор с компонентами *y*\ :sub:`1`,
*y*\ :sub:`2`, *y*\ :sub:`3` в локальной системе
координат имеет компоненты *v*\ :sub:`1`,
*v*\ :sub:`2`, *v*\ :sub:`3` в выбранной системе
координат, тогда при участии расширенной матрицы :blue:`MbMatrix3D` компоненты
будут связаны соотношением

.. math::
   :nowrap:

   \[
   \begin{bmatrix}
      v_{1} & v_{2} & v_{3} & 0 \\
   \end{bmatrix}
   =
   \begin{bmatrix}
      y_{1} & y_{2} & y_{3} & 0 \\
   \end{bmatrix}
   \cdot
   \begin{bmatrix}
      a_{1} & a_{2} & a_{3} & 0 \\
      b_{1} & b_{2} & b_{3} & 0 \\
      c_{1} & c_{2} & c_{3} & 0 \\
      r_{1} & r_{2} & r_{3} & 1 \\
   \end{bmatrix}.
   \]

Заметим, что трёхмерный вектор умножается на расширенную матрицу
:blue:`MbMatrix3D` справа.