.. role:: blue
   :class: blue

.. role:: bfit
   :class: bfit

Расширенная матрица в двумерном пространстве MbMatrix
======================================================
.. _MbMatrix_Extended_Matrix_in_Two-Dimensional_Space:

.. версия ядра: 118059

Класс :blue:`MbMatrix` объявлен в файле *mb_matrix.h*.

В двумерном пространстве матрица :blue:`MbMatrix3D` описывает преобразование из одной системы координат в другую. Матрица имеет размерность три на три. Пусть в выбранной системе координат построена локальная аффинная система координат с началом в точке :bfit:`r` с координатами *r*\ :subscript:`1`, *r*\ :subscript:`2` и базисными векторами :bfit:`a` = \[*a*\ :subscript:`1` *a*\ :subscript:`2`\], :bfit:`b` = \[*b*\ :subscript:`1` *b*\ :subscript:`2`\]. Векторы :bfit:`a` и :bfit:`b` не должны быть коллинеарными, но могут быть не ортогональными друг другу и иметь произвольную длину. Матрица :blue:`MbMatrix` преобразования координат из локальной системы в выбранную систему координат имеет вид:

.. math::
   :nowrap:

    \[
    \text{M} =
    \begin{bmatrix}
    a_{1} & a_{2} & 0 \\
    b_{1} & b_{2} & 0 \\
    r_{1} & r_{2} & 1 \\
    \end{bmatrix}.
    \]

Для обозначения расширенных матриц в двумерном пространстве будем использовать прописные буквы латинского алфавита, выделенные полужирным наклонным шрифтом, например :bfit:`M`. Заметим, что каждому базисному вектору :bfit:`a`, :bfit:`b` и начальной точке :bfit:`r` локальной системы координат соответствует своя строка в матрице преобразования из локальной системы в выбранную систему координат.

Матрица :blue:`MbMatrix` является расширенной и работает с однородными радиусами-векторами и однородными векторами :ref:`MbHomogeneous <MbHomogeneous_Homogeneous_Vector_in_Two-Dimensional_Space>` в двумерном пространстве.

При преобразовании радиуса-вектора :ref:`MbCartPoint <MbCartPoint_Point_Radius_Vector_in_Two-Dimensional_Space>` по матрице :blue:`MbMatrix` точке следует добавить третью координату, равную единице. Пусть точка с координатами *x*\ :subscript:`1`, *x*\ :subscript:`2` в локальной системе координат имеет координаты *p*\ :subscript:`1`, *p*\ :subscript:`2` в выбранной системе координат, тогда при участии расширенной матрицы :blue:`MbMatrix` координаты будут связаны соотношением

.. math::

   \begin{bmatrix}
   p_{1} & p_{2} & 1
   \end{bmatrix}
   =
   \begin{bmatrix}
   x_{1} & x_{2} & 1
   \end{bmatrix}
   \cdot
   \begin{bmatrix}
   a_{1} & a_{2} & 0 \\
   b_{1} & b_{2} & 0 \\
   r_{1} & r_{2} & 1 \\
   \end{bmatrix}

Заметим, что двумерный радиус-вектор умножается на расширенную матрицу :blue:`MbMatrix` справа.

При преобразовании вектора :blue:`MbVector` по матрице :blue:`MbMatrix` вектору следует добавить третью компоненту, равную нулю. Пусть вектор с компонентами *y*\ :subscript:`1`, *y*\ :subscript:`2` в локальной системе координат имеет компоненты *r*\ :subscript:`1`, *r*\ :subscript:`2` в выбранной системе координат, тогда при участии расширенной матрицы :blue:`MbMatrix` компоненты будут связаны соотношением


.. math::
   :nowrap:

    \[
    \begin{bmatrix}
    r_{1} & r_{2} & 0
    \end{bmatrix}
    =
    \begin{bmatrix}
    y_{1} & y_{2} & 0
    \end{bmatrix}
    \cdot
    \begin{bmatrix}
    a_{1} & a_{2} & 0 \\
    b_{1} & b_{2} & 0 \\
    r_{1} & r_{2} & 1 \\
    \end{bmatrix}.
    \]

Заметим, что двумерный вектор умножается на расширенную матрицу :blue:`MbMatrix` справа.