.. role:: blue
   :class: blue


Кинематическая поверхность MbEvolutionSurface
=============================================
.. _MbEvolutionSurface_Swept_Surface:

.. версия ядра: 1180ХХ

Класс :blue:`MbEvolutionSurface` объявлен в файле *surf\_evolution\_surface.h*.

Кинематическая поверхность MbEvolutionSurface принадлежит к группе поверхностей движения MbSweptSurface. Кинематическая поверхность является общим случаем поверхности движения с произвольной направляющей кривой. Поверхность вращения описывается образующей кривой :ref:`MbCurve3D <MbCurve3D_Curve>` * **curve**, направляющим объектом :ref:`MbCurve3D <MbCurve3D_Curve>` * **spine**, положением начала направляющей :ref:`MbCartPoint3D <MbCartPoint3D_Radius_Vector_of_Point_in_3D_Space>` **origin**. У поверхности есть ещё некоторые данные, которые не обязательны и служат для ускорения работы методов поверхности.

Первый параметр поверхности *u* совпадает с параметром образующей кривой **curve**. Первый параметр поверхности принимает значения на отрезке *umin* ≤ *u* ≤ *umax*, который соответствует области определения образующей кривой. Поверхность может быть периодической по первому параметру, если периодической является образующая кривая.

Направляющий объект **spine** заменяет собой направляющую кривую, построен на базе кривой и отличается от последней тем, что может генерировать локальную систему координат, связанную с кривой. Второй параметр поверхности *v* совпадает с параметром кривой направляющего объекта **spine**. Второй параметр поверхности принимает значения на отрезке *vmin* ≤ *v* ≤ *vmax*, который соответствует области определения направляющей кривой. Поверхность может быть периодической по второму параметру, если периодической является направляющая кривая.

В методе :blue:`PointOn`\( double *u*, double *v*, :ref:`MbCartPoint3D <MbCartPoint3D_Radius_Vector_of_Point_in_3D_Space>` & **s** ) радиус-вектор поверхности **s** описывается векторной функцией

.. math::
   :nowrap:

   \begin{equation}
   \mathbf{s}(u, v) = \mathbf{spine}(v) +
   \left( \mathbf{curve}(u) - \mathbf{origin} \right) \mathbf{M}(v),
   \end{equation}

где **M**\(*v*) — матрица, связанная с направляющей кривой. Заметим, что умножение вектора (\ **curve**\ (\ *u*) - \ **origin**\) на матрицу **M**\(*v*) выполняется справа. Матрица **M**\(*v*) имеет вид

.. math::
   :nowrap:

   \begin{equation}
   \mathbf{M}(v) =
   \mathbf{A}^{-1}(vmin) \cdot \mathbf{A}(v),
   \end{equation}

где матрица **A**\(*v*) является матрицей преобразования координат радиуса-вектора точки из подвижной системы координат, связанной с направляющей кривой, в глобальную систему координат. Матрица **A**\(*v*) зависит от второго параметра поверхности. Строки матрицы **A**\(*v*) составлены из компонент базисных векторов подвижной системы координат:

.. math::
   :nowrap:

   \begin{equation}
   A(v) =
   \begin{bmatrix}
   i_{1}(v) \\
   i_{2}(v) \\
   i_{3}(v)
   \end{bmatrix},
   \end{equation}

где **i**\ :sub:`1`\ (*v*) — касательный вектор направляющей кривой, **i**\ :sub:`2`\ (*v*) — вектор, ортогональный **i**\ :sub:`1`\ (*v*) и связанный с вектором **direction** направляющего объекта **spine**, **i**\ :sub:`3`\ (*v*) — вектор, ортогональный **i**\ :sub:`1`\ (*v*) и **i**\ :sub:`2`\ (*v*). Поверхность вращения приведена на рис. 1:

.. figure:: /MODELER/SURFACES/pictures/O.5.11.1.png
   :width: 12cm
   :align: center

   Рис. 1

Касательный вектор **i**\ :sub:`1`\ (*v*) вычисляется по направляющей кривой. Вектор **i**\ :sub:`2`\ (*v*) вычисляется из условия плавного изменения при переходе от точки к точке направляющей кривой и ортогональности **i**\ :sub:`1`\ (*v*). Вектор **i**\ :sub:`3`\ (*v*) вычисляется как векторное произведение векторов **i**\ :sub:`1`\ (*v*) и **i**\ :sub:`2`\ (*v*).