.. role:: blue
   :class: blue

Спиральная поверхность MbSpiralSurface
=======================================
.. _MbSpiralSurface_Spiral_Surface:

.. версия ядра: 1180ХХ

Класс :blue:`MbSpiralSurface` объявлен в файле *surf\_spiral\_surface.h*.

Спиральная поверхность :blue:`MbSpiralSurface` принадлежит к группе поверхностей
движения :blue:`MbSweptSurface`. Спиральная поверхность является частным случаем
поверхности движения с направляющей кривой в форме цилиндрической
спирали. Спиральная поверхность описывается образующей кривой
:ref:`MbCurve3D <MbCurve3D_Curve>` * **curve**, локальной системой координат
:ref:`MbPlacement3D <MbPlacement3D_Local_Coordinate_System>` **position**, вектор
**position.axisZ** которой является осью спирали, радиусом спирали *radius*, шагом
спирали *step*, положением начала спирали **origin** и
граничными параметрами спирали *vmin* и *vmax*. У поверхности
есть ещё некоторые данные, которые не обязательны и служат для ускорения
работы методов поверхности.

Ось спирали совпадает с координатной осью **position.axisZ**
локальной системы координат. Первый параметр поверхности *u*
совпадает с параметром образующей кривой. Первый параметр поверхности
принимает значения на отрезке *umin* ≤ *u* ≤ *umax*, который
соответствует области определения образующей кривой. Поверхность может
быть периодической по первому параметру, если периодической является
образующая кривая.

Второй параметр поверхности *v* принимает значения на отрезке:
*vmin* ≤ *v* ≤ *vmax*. Значение *v* = 0 соответствует
точке на образующей кривой. Значение второго параметра *v*,
равное 2π, соответствует точкам образующей кривой, смещённым на
вектор **position.axisZ**, умноженный на *step*. Поверхность
не может быть периодической по второму параметру.

В методе :blue:`PointOn`\( double *u*, double *v*,
:ref:`MbCartPoint3D <MbCartPoint3D_Radius_Vector_of_Point_in_3D_Space>` & **s** ) радиус-вектор поверхности **s**
описывается векторной функцией

.. math::
   :nowrap:

   \begin{equation}
   \mathbf{s}(u, v) = \mathbf{position.origin} +
   \mathit{radius} \left( \cos(t)\, \mathbf{position.axisX} + \sin(t)\, \mathbf{position.axisY} \right) +
   \left( \frac{t \cdot \mathit{step}}{2 \pi} \right) \mathbf{position.axisZ} +
   \left( \mathbf{curve}(u) - \mathbf{origin} \right) \mathbf{M}(v),
   \end{equation}

где **M**\(*v*) — матрица вращения. Заметим, что
умножение вектора (**curve**\(*u*) - **origin**)
на матрицу **M**\(*v*) выполняется справа. Матрица вращения имеет вид

.. math::
   :nowrap:

   \begin{equation}
   M(v) = A^{-1} \cdot
   \begin{bmatrix}
   \cos v & -\sin v & 0 \\
   \sin v &  \cos v & 0 \\
   0      &  0      & 1
   \end{bmatrix}
   \cdot A =
   \begin{bmatrix}
   \mathbf{position.axisX} \\
   \mathbf{position.axisY} \\
   \mathbf{position.axisZ}
   \end{bmatrix}^{-1}
   \cdot
   \begin{bmatrix}
   \cos v & -\sin v & 0 \\
   \sin v &  \cos v & 0 \\
   0      &  0      & 1
   \end{bmatrix}
   \cdot
   \begin{bmatrix}
   \mathbf{position.axisX} \\
   \mathbf{position.axisY} \\
   \mathbf{position.axisZ}
   \end{bmatrix}.
   \end{equation}

Матрица **A** является матрицей преобразования координат
радиуса-вектора точки из локальной системы координат **position** в глобальную систему координат. Строки матрицы
**A** составлены из компонент базисных векторов локальной системы
координат. Матрица **M**\(*v*) переводит вектор
**curve**\(*u*) - **origin** в локальную
систему координат, поворачивает его в ней на угол *v*
вокруг оси вращения и возвращает повёрнутый вектор обратно в глобальную
систему координат. Спиральная поверхность приведена на рис. 1:

.. figure:: /MODELER/SURFACES/pictures/O.5.10.1.png
   :width: 12cm
   :align: center

   Рис. 1

Для граничных значений второго параметра поверхности должно соблюдаться
неравенство: *vmin* < *vmax*.