.. role:: blue
   :class: blue

Поверхность тора MbTorusSurface
================================
.. _MbTorusSurface_Toroidal_Surface:

.. версия ядра: 1180ХХ

Класс :blue:`MbTorusSurface` объявлен в файле *surf\_torus\_surface.h*.

Поверхность тора :blue:`MbTorusSurface` принадлежит к группе элементарных
поверхностей :blue:`MbElementarySurface`. Поверхность тора описывается радиусом
центров *majorRadius* и радиусом трубки *minorRadius*,
заданными в локальной системе координат
:ref:`MbPlacement3D <MbPlacement3D_Local_Coordinate_System>` **position**.

Первый параметр поверхности отсчитывается по дуге от вектора
**position.axisX** в направлении вектора **position.axisY**.
Первый параметр поверхности *u* принимает значения на отрезке:
*umin* ≤ *u* ≤ *umax*. Значения *u* = 0 и *u* = 2π
соответствуют точке на плоскости XZ. Поверхность может быть
периодической по первому параметру. У периодической поверхности
*umax* - *umin* = 2π, у не периодической поверхности
*umax* - *umin* < 2π.

Второй параметр поверхности отсчитывается по дуге от плоскости XY
локальной системы координат поверхности в направлении вектора
**position.axisZ**. Второй параметр поверхности *v* принимает
значения на отрезке: *vmin* ≤ *v* ≤ *vmax*. Значения
*v* = 0 и *v* = 2π соответствуют точке на плоскости XY локальной
системы координат поверхности. Поверхность может быть периодической по
второму параметру при
*majorRadius* > *minorRadius*. У периодической
поверхности *vmax* - *vmin* = 2π, у непериодической поверхности
*vmax* - *vmin* < 2π.

В методе :blue:`PointOn`\( double *u*, double *v*,
:ref:`MbCartPoint3D <MbCartPoint3D_Radius_Vector_of_Point_in_3D_Space>` & **s** ) радиус-вектор поверхности **s**
описывается векторной функцией

.. math::
   :nowrap:

   \begin{equation}
   \mathbf{s}(u, v) = \mathbf{position.origin} +
   \left( \mathit{majorRadius} + \mathit{minorRadius} \cdot \cos(v) \right)
   \left( \cos(u)\, \mathbf{position.axisX} + \sin(u)\, \mathbf{position.axisY} \right) + \\
   \mathit{minorRadius} \cdot \sin(v)\, \mathbf{position.axisZ}
   \end{equation}

Поверхность тора приведена на рисунке:

.. figure:: /MODELER/SURFACES/pictures/O.5.6.1.png
   :width: 15cm
   :align: center

Радиус трубки должен быть больше нуля: *minorRadius* > 0.
Радиус центров должен быть не меньше радиуса трубки, взятого с обратным
знаком: *majorRadius* > -*minorRadius*. Если
*majorRadius* < *minorRadius*, то поверхность имеет
полюс для параметра
*v* = arccos(*majorRadius* / *minorRadius*) и
*v* = 2π - arccos(*majorRadius* / *minorRadius*). Для
граничных параметров поверхности должны соблюдаться неравенства:
*umin* < *umax*, *vmin* < *vmax*.

Локальная система координат **position** может быть как правой, так
и левой. Если локальная система координат правая, то нормаль направлена
от трубки поверхности, если локальная система координат левая, то
нормаль направлена внутрь трубки поверхности.